Искусство
Физика
Контрольная
Конспекты
Арт-дизайн
Энергетика
Детали машин
Начертательная
Кинематика
Атомные станции
Имформатика
Решение задач
Ядерная физика
Станции тепловые
Черчение
Графика

Задачи курса электрических цепей (Электротехника)

КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ

На различных участках кривой линии ее кривизна может быть различной. Для оценки кривизны линий введены понятия кривизны и радиуса  кривизны.

Малые участки  и  кривой линии ab всегда мо­жно совместить с некоторой окружностью (рис. 7). Ради­усы  и  этих окружнос­тей называются радиусами кривизны кривой линии наданных участках. Если вообще участок кривой бесконеч­но мал (), то можноговорить о радиусе кривизны  кривой в данной точке.

 Рис. 7

Величина, обратная ра­диусу кривизны, называется кривизной кривой линии: . Отметим, что у прямой линии , а К = 0.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Производной функции  называется предел отношения приращения  функции к приращению  аргумента, когда послед­нее стремится к нулю. Обозначают производную символами , или , или  (читается: «де игрек по де икс»). Таким образом,

,  (1)

где  — главная часть приращения функции у при бесконечно ма­лом приращении  аргумента х. Символы  и  называются со­ответственно дифференциалом функции и дифференциалом аргумента. Из (1) следует, что

.  (2)

т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал  аргумента.

Процесс вычисления (взятия) производной называется дифферен­цированием. Правила дифференцирования и формулы производных различных функций выводятся в курсе высшей математики. При­ведем только те формулы и правила дифференцирования, которые применяются в данном учебнике (С и п постоянные величины, е основание натуральных логарифмов):

;

;

;

;

;

, если , где .

Вычислим, например, производную функции

,

где А и k постоянные:

.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛ

Интегрирование является действием, обратным дифференциро­ванию. Знак  этого действия называется интегралом. Таким об­разом, если дифференциал функции  есть , то интеграл вы­ражения  будет равен F(x) + С, где С некоторая (любая) постоянная величина: 

,  (3)

где подынтегральное выражение, f(x) подынтеграль­ная функция, х переменная интегрирования, F(x) первообразная функции, С постоянная интегрирования.

Действительно, взяв дифференциал  от обеих частей равенства (3), получим

.

Поскольку С может иметь любые значения, интеграл, стоящий в ле­вой части равенства (3), тоже может иметь любые значения. В этом смысле  называется неопределенным интегралом.

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, при­веденными в предыдущем разделе этого параграфа, нетрудно по­лучить соответствующие формулы неопределенных интегралов и правила интегрирования:

, мұндағы ;

;

;

;

;

;

;

; ; где , .

Эти формулы нужны для вычисления определенного интеграла, который используется для нахождения числового значения площади фигур, кинематических характеристик движения тел, значений работы, энергии, потенциала электрического поля, энергии маг­нитного поля, интенсивности света и многих других физических величин.

Так, например, площадь  криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и ординатами х=а и , равна разности F(b) F(a), где F(x) первообразная функция для f(x). Эта разность и называется определенным интегра­лом (поскольку  она, очевидно, не содержит постоянной интегрирования С), обозначаемым символом  .

Тогда

,

где а и b соответственно нижний и верхний пределы интегри рования.

Итак, определенный интеграл равен разности значений первообразной функции, взятой при верхнем и при нижнем пределах интегрирования.

Если, например, , а = 1м и м, то, используя соответствующие формулы интегрирования,  получим


Решение задач по электротехнике