Искусство
Физика
Контрольная
Конспекты
Арт-дизайн
Энергетика
Детали машин
Начертательная
Кинематика
Атомные станции
Имформатика
Решение задач
Ядерная физика
Станции тепловые
Черчение
Графика

Задачи курса электрических цепей (Электротехника)

Некоторые вторые производные

Как и в случае образования градиента, дивергенции и ротора

, , ,

оператор Гамильтона  позволяет выполнять другие, более сложные операции пространственного дифференцирования:

;

данная формула выражает оператор Лапласа лапласиан, который получен путем скалярного умножения двух операторов Гамильтона. Аналогично,

;

;

.

  В равенстве нулю  и  можно убедиться в результате непосредственного вычисления, хотя очевидность отсутствия вихря градиента и расхождения, растечения замкнутого на себя вихря неоспорима. Это можно доказать при помощи последовательного применения теорем Остроградского Гаусса и Стокса

,

так как циркуляция (работа!), производимая вектором  по замкнутому контуру, не охватывающему источник поля, тождественно равна нулю.

Очень важной в теории поля является производная

в соответствии с правилами векторной алгебры [b [ba]] = b (ba) (bb)a. Иначе это соотношение записывается так:

; (5)

следует отметить, что

;

второй член правой части этого выражения является вектором,

слагающая которого,  например по оси х, равна

.

Рис. 11. Графическое доказательство выражения ;

 Доказать справедливость соотношения (5) можно как численно, так и графически. Пусть векторы  и  лежат в одной плоскости; так как , то по направлению выражения совпадает с .  По той же причине  содержит в себе произвольно взятый отрезок . С другой стороны, векторное произведение

будет представлено вектором перпендикулярным к плоскости , а вектор

снова расположится в плоскости  перпендикулярно к вектору . Таким образом, разность векторов

 

г. е. формула

справедлива (рис. 11).

 В дальнейшем придется прибегать и к операциям пространственного дифференцирования над произведениями скалярных и векторных величин. Они напоминают линейное дифференцирование, но знак d заменяется на символ . Следует иметь в виду также, что при воздействии оператора  на скаляр  образуется ; векторное произведение  дает , а скалярное . Это отражено в приводимых ниже формулах:

  или ;

  или ;

  или ;

и т. д.

 Эти формулы могут быть получены как непосредственным вычислением, так и из векторной алгебры.


Решение задач по электротехнике