Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье функции:  


Решение.
Здесь L = 1. Следовательно, можно записать
     
Вычислим коэффициенты an:
     
Определим теперь ы bn:
     
В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок 2):

     

   Пример 3 Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией

     

Решение.
В данном случае, очевидно, L = 3/2. Вычислим коэффициенты разложения a0 и an.
     
Так как , то получаем
     
Коэффициенты bn равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале [0,3]. Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой
     
График данной функции и аппроксимации Фурье при n = 1 и n = 3 показаны на рисунке 3.
Рис.3, n = 1, n = 3

 

Пример 4 Найти разложение в ряд Фурье функции .


Решение.
Данная функция − четная и имеет период π (L = π/2). Поэтому bn = 0. Определим коэффициенты a0 и an.
     
Однако полученный результат справедлив лишь при n ≥ 2. Поэтому рассчитаем a1 отдельно.
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье функции имеет вид
     
Полученное выражение является хорошо известным тригонометрическим тождеством.

Формула Грина Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина
где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

Если , то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.

Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.

Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.

Пример 1 Используя формулу Грина, вычислить интеграл , где кривая C − окружность радиуса R.


Решение.
Запишем компоненты векторного поля:
     
С помощью формулы Грина
     
преобразуем криволинейный интеграл в двойной:
     
Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

     

Бесконечные ряды

Определения
Пусть задана числовая последовательность {an}. Тогда бесконечная сумма
называется бесконечным рядом или просто рядом. Частичные суммы ряда определяются формулой
где Sn называется n-частичной суммой ряда. Если частичные суммы {Sn} сходятся к L при n → ∞, то говорят, что бесконечный ряд сходится к L:
В противном случае ряд расходится.
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд сходится, то .
Внимание! Обратное утверждение неверно. Сходимость общего члена an к нулю не означает, что ряд
сходится. Например, гармонический ряд расходится, хотя .

Соответственно, если или этот предел не существует, то ряд расходится (достаточное условие расходимости ряда).
Свойства сходящихся рядов
Предположим, что и являются сходящимися рядами, а c − действительным числом. Тогда справедливы следующие линейные свойства:


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов