Warning: include_once(/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php) [function.include-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: include_once() [function.include]: Failed opening '/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php' for inclusion (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=config&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 79

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=ip_list&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 80

Warning: file_get_contents(AGG_CONFIG_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 90

Warning: file_get_contents(AGG_IPLIST_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 45

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 47

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php:4) in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 9
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Математический анализ Предел последовательности Геометрическая прогрессия Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Двойные интегралы в полярных координатах

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1
Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид
Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен
Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям
В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид
Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
Рис.3
Рис.4

Пример 1 Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .


Решение.
Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу
     
получаем
     

Пример 2 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями и .


Решение.
В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):
     
Рис.5
Рис.6
Тогда, используя формулу
     
находим значение интеграла

     

 

  Пример 3 Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой (рисунок 6).


Решение.
Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

     

Пример 4 Вычислить интеграл в круге .


Решение.
Область интегрирования R показана на рисунке 7.
Рис.7
Рис.8
Преобразуем уравнение окружности следующим образом:
     
Подставляя , найдем уравнение окружности в полярных координатах.
     
Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.      

Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную.

 Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем

 Теор.6.2. Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.

  Док-во. Пусть . По теор.4.4.9 о связи функции с её пределом функция  представляется в виде . Домножая это выражение на Dх, получим необходимое представление приращения функции, имеющей производную.

 Из доказанной теоремы сразу следует, что функция, имеющая производную в точке х, непрерывна в этой точке: если Dх®0, то Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх тоже стремится к нулю, т.е. БМ приращению функции соответствует БМ приращение аргумента. Обратное утверждение неверно: функция |x| непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.

6.5. Основные правила дифференцирования.

  Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

6.5.1. Пусть функция u(x) имеет производную в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y(x)=(Сu(x)), и (Сu(x))' = Сu'(x).

 Док-во: Dy = D(Сu(x))= (Сu(x+Dx))- (Сu(x))=С[u(x+Dx)- u(x)]=CDuÞ$

.

6.5.2. Производная суммы. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеют производные функции y = (u(x)± v(x)), и (u(x)± v(x))' = u'(x)± v'(x).

Док-во: Dy = D(u(x) ± v(x))= (u(x+Dx) ± v(x+Dx))- (u(x) ± v(x))=[u(x+Dx)- u(x)] ±[v(x+Dx)- v(x)]=Du±D v(x)  Þ$ .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Пример Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале


Тройные интегралы в декартовых координатах