Warning: include_once(/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php) [function.include-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: include_once() [function.include]: Failed opening '/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php' for inclusion (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=config&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 79

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=ip_list&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 80

Warning: file_get_contents(AGG_CONFIG_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 90

Warning: file_get_contents(AGG_IPLIST_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 45

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 47

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php:4) in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 9
Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности
Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом
Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора
то площадь поверхности будет равна
где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой
где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.


Решение.
Площади заданной поверхности равна
     
Переходя к полярным координатам, находим ответ:

     

Пример 2 Найти площадь полусферы радиуса R.


Решение.
В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде
     
где (рисунок 1).
Вычислим дифференциальный элемент площади.
     
Найдем векторное произведение данных векторов:
     
Следовательно, элемент площади будет равен
     
Отсюда вычисляем площадь полусферы:
     
Рис.1
Рис.2

 

 

Пример 3 Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.


Решение.
Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2):
     
Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем
     
Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором:
     
Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой
     
Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид
     
Тогда модуль векторного произведения равен
     
Отсюда находим площадь поверхности тора:

     

Некоторые множества на числовой оси.

 Определения.

 3.2.1. Для любой пары элементов aÎR, bÎR такой, что a<b, множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а<х<b, называется открытым промежутком, или интервалом с началом а и концом b и обозначается (a,b) (или ] a ,b[).

 3.2.2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а£х£b, называется замкнутым промежутком, или отрезком и обозначается [a,b]

 3.2.3. Определения полуоткрытых промежутков: (a,b]={x| а<х£b}; [a,b)={x| а£х<b}.

 3.2.4. Пусть eÎR, e>0. e-окрестностью числа (точки) х0 называется множество.

.

 3.2.5. Проколотой e-окрестностью числа (точки) х0 называется множество .

 Пусть Х – произвольное множество действительных чисел.

3.2.6. Точка х0 называется предельной точкой множества Х, если в любой e-окрестности точки х0 имеются элементы множества Х, отличные от х0.

Предельная точка множества может принадлежать этому множеству, а может не принадлежать ему. Так, точка х0 = 1 является предельной и для отрезка [0, 1], и для интервала (0, 1).

3.3. Несобственные точки числовой прямой.

 Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (-¥, +¥, ¥), которые определим через систему их окрестностей.

 Определения.

 3.3.1. Несобственной точкой -¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется -¥<у.

3.3.2. Несобственной точкой +¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется у<+¥.

3.3.3. Пусть К>0. Несобственной точкой ¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

3.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х={x|xÎR} - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Интегрирование по частям Пример Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть .

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов