Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 10 Вычислить периметр единичной окружности.


Решение.
Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид
     
Дуга окружности в первой четверти (рисунок 2) описывается функцией
     
Найдем производную данной функции.
     
Длина дуги определяется формулой . Следовательно,
     
Теперь вычислим полученный несобственный интеграл .
     

Таким образом, периметр единичной окружности равен .

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.




  • Таблица интегралов
    В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      

     

    Пример 1 Вычислить .


    Решение.

         

    Пример 2 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Преобразуя выражение и применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем

         

    Пример 3 Вычислить .


    Решение.
    Используем табличный интеграл . Тогда
         

    Пример 4 Вычислить .


    Решение.
    Воспользовавшись табличным интегралом , находим
         

    Пример 5 Вычислить .


    Решение.
    Поскольку , интеграл равен
         

    Инвариантность формы первого дифференциала. Здесь мы рассмотрим одно важное свойство дифференциала, следующее из формулы для производной сложной функции (раздел 6.5.5. Производная сложной функции): если функции и  имеют в соответствующих точках производные и , то производная сложной функции   равна .

    Если х - независимая переменная, то формула для дифференциала: . Если , то . Таким образом, независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же. Это свойство и называется инвариантностью формы первого дифференциала, и часто применяется в теории и решении задач. Ниже (раздел 6.10) мы с помощью этого свойства выведем формулу для производной функции, заданной параметрически.

    6.8.3. Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

    ;

    ;

    ;

    .

    Докажем, для примера, формулу 3: .

    При нахождении дифференциала можно вычислить производную и затем применить формулу :

    , поэтому ;

    но более квалифицированным является прямое применение правил вычисления дифференциала:


    Вычисление объемов с помощью тройных интегралов