Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.


Решение.
Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x и тождество sin2x + cos2x = 1, получаем
     

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 2 Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1.

Решение.
Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен
     
Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1

. Пример 3 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 4 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Оценим несобственный интеграл
     
Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла:
     
Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем
     
Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда :
     
Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Пример 6Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Интегрируем по частям:
     
Получаем
     
Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:
     

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. По теор.6.2 (раздел 6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную) Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0; с учётом того, что у'(x) Dх = у'(x)dх = dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению с Dх, получим Dу @ dу. Так как Dу=у(x+Dх)- у(x), то формула для приближённого значения у(x+Dх) будет иметь вид у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх. Примеры:

Вычислить . В этом случае , функция и производная легко вычисляется в близкой точке х=32, у(х)=2, у'(х)=1/(5*24)=1/80, х1=30, Dх =30-32= -2, и

 @2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

Вычислить sin(0.5). y(x)=sinx, y'(x)=cosx, в качестве х примем x = p/6@0.524, х1=0.5,

Dх =0.5-0.524= -0.024, y(x)=0.5, y'(x)=@0.866, y(х1) @ 0.5 - 0.024*0.866@0.5-0.021=0.479 (более точное значение 0.47943).

6.9. Таблица производных и дифференциалов.

  Соберём полученные в разделах 6.2, 6.3, 6.5 выражения для производных и следующие из них выражения для дифференциалов в одну таблицу:

y(x)

y'(x)

dy

y(x)

y'(x)

dy

1

y = C

0

0

10

2

у = ха

a ха-1

a ха-1dx

11

3

12

3a

14

4

15

4a

16

5

17

6

18

7

19

8

20

9

21


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов