Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Криволинейные интегралы первого рода

Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой
    где кривая C задана в полярных координатах функцией .

Пример 1 Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).


Решение.
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Вычислить интеграл , где C − дуга окружности .


Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
     
Тогда, применяя формулу
     
в плоскости Oxy, получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .


Решение.
Используем формулу
     
Здесь
     
Следовательно,
     

   Пример 4 Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше).


Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.
     
Применяя формулу
     
находим искомый криволинейный интеграл.

     

Пример 5 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Применяя формулу
     
можно записать
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).


Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.
     
По формуле
     
находим данный интеграл
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).


Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
     
Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле
     
заданный интеграл преобразуется следующим образом
     
Сделаем замену. Положим . Тогда
     
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
     
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
     
Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,      

Определения.

3.4.1. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

3.4.3. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство |х|<М, то множество Х называется ограниченным.

Теорема 3.4.1. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М+1, М+2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х).

Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если

Х – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Определение 3.4.4. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы sup X или sup{x}.

Свойства верхней грани:

Пусть М*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для "хÎХ выполняется неравенство х £М*.

3.4.3. Любое число, меньшее М*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для "e>0 $xÎX такой, что х> М*-e.

Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х).

Определение 3.4.5. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы inf X  или inf{x}.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Физические приложения двойных интегралов Пример Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов