[an error occurred while processing this directive] Get the chance to get much bucks at online kasino!
Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции Get the chance to get much bucks at online kasino!

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур (рисунок 3).
Рис.3

Пример 1 Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .


Решение.
Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB.
     
где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна
     

Пример 2 Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью (рисунок 4).


Решение.
Окружность радиусом 1 с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями
     
где параметр t изменяется в диапазоне . Тогда масса данного куска проволоки вычисляется следующим образом:
     
Рис.4
Рис.5

Пример 3 Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды (рисунок 5), где с плотностью ρ = 1.


Решение.
Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем
     
Вычислим момент первого порядка My. Используя формулу
     
находим
     
Полагая (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, 0 и ), можно записать
     
Тогда
     
Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .

Пример 4 Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.


Решение.
Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид
     
Момент инерции Ix относительно оси Ox вычисляется по формуле
     
Проводя вычисления, получаем

     

  Пример 5 Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где

1) С − отрезок прямой y = x;
2) С − кривая .


Решение.
1) Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x.
     
2) Определим теперь работу при перещении вдоль кривой .      

Односторонние пределы на бесконечности:

Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х®+µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(+µ).

Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f(x) при х®-µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x<K, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(-µ).

.  Для примера рассмотрим функцию

В точке х=0 эта функция не определена; найдём односторонние пределы при х®±0. При х®+0 (т.е. справа) (-1/х) ®-µ, е(-1/х)®0,

f(x) ®2+3/4=11/4. При х®-0 (т.е. слева) (-1/х) ®+µ, е(-1/х)® +µ,

3/(4+ е(-1/х)) ®0, f(x) ®2. Таким образом

 Найдем пределы этой функции при х®±µ. И при х®-µ, и при х®+µ получим (-1/х) ®0, е(-1/х)®1, f(x) ®2+3/5=13/5.

 Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов