Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 6 Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0 (рисунок 6). Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Решение.
Запишем закон движения тела в параметрической форме.
     
При соударении с землей y = 0, так что время полета тела равно
     
Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна
     
Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство
     
Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как
     
Полагая , находим
     
Таким образом, потенциал гравитационного поля равен
     
где C − константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде
     
Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки O(0,0) до конечной точки A(L,0) работа равна
     
Рис.6
Рис.7

 

Пример 7 Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.


Решение.
Чтобы найти магнитное поле на расстонии r от проводника, рассмотрим круговой контур радиуса r, расположенный перпендикулярно проводнику с током (рисунок 7). Поскольку поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение векторов и есть просто . Тогда можно записать
     
В результате получаем
     

  Пример 8 Оценить значение электродвижущей силы ε и электрического поля E, возникающих в кольце радиусом 1 см у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью 900 км/ч.


Решение.
Согласно закону Фарадея
     
Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока ψ, проходящего через кольцо.

Предположим, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время изменение потока равно
     
где , v − скорость самолета, B − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем
     
Подставляя заданные величины
     
находим значение э.д.с.:
     
Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров.

Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле . В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл.
     
Следовательно, напряженность электрического поля равна
     

 

Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

Масса оболочки
Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле
Центр масс и моменты инерции оболочки
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами
где
− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами
Сила притяжения поверхности
Пусть задана поверхность S, а в точке (x0, y0, z0), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.

Сила давления
Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
где − единичный нормальный вектор к поверхности S.

Поток жидкости и поток вещества
Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой
Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Заряд поверхности
Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой
Теорема Гаусса
Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:
где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Теор. 4.4.5 (о переходе к пределу в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x) удовлетворяют неравенству f(x)£g(x) и имеют пределы при х®а, то и их пределы удовлетворяют неравенству .

(Напомним, что когда мы говорим о некоторых свойствах функций, имеющих предел, в окрестности предельной точки, то подразумеваем, что эти свойства выполняются во всех точках этой окрестности, за исключением, возможно, самой предельной точки. Значение функции в предельной точке никак не участвует в определении предела и вообще может не существовать).

Док-во от противного. Пусть , , и пусть b1<b2. Возьмём

e<( b2- b1 )/2. $d2: 0<| x-a |<d2 Þ| f(x)- b2 |<eÛ-e< f(x)- b2<eÛb2-e< f(x)< b2+eÞ f(x)> b2-e> b2-( b2- b1 )/2=( b1+ b2 )/2. Аналогично  $d1: 0<| x-a |<d1 Þ| g(x)- b1 |<eÛ- e< g(x)- b1<eÛb1-e< g(x)< b1+eÞ g(x)< b1+e< b1+( b2- b1 )/2=( b1+ b2 )/2. Таким образом, при 0<| x-a |<min{d1,d2}должно быть f(x)> ( b1+ b2 )/2, g(x)< ( b1+ b2 )/2 что противоречит условию f(x)£g(x).

Теор. 4.4.6 (о пределе промежуточной функции). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x), h(x) удовлетворяют неравенству f(x)£g(x) £h(x), функции f(x), h(x) имеют пределы при х®а, и эти пределы равны: , то и функция g (x) имеет предел при х®а, и этот предел тоже равен числу b.

Док-во. $d1: 0<| x-a |<d1 Þ| f(x)- b |<eÛ -e< f(x)- b<eÛb-e< f(x)< b+eÞ f(x)> b-e. $d2:

 0<| x-a |<d2 Þ| h(x)- b2 |<eÛ -e< h(x)- b<eÛb-e< h(x)< b+eÞ h(x)< b+e. Таким образом, при

0<| x-a |<min{d1,d2}=d будет b-e<f(x)£g(x) £h(x) < b+eÞ| h(x)- b |<e, т.е. g(x) имеет предел, равный числу b.

 Задание. Утверждения этого раздела сформулированы для случая х®а. Самостоятельно сформулировать и доказать их для других случаев (односторонних пределов, пределов на бесконечности).

4.4.5. Бесконечно малые (БМ) функции.

Опр. 4.4.10. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х®a Û {"e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов