Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 1 Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Решение.
Массу оболочки определим по формуле
     
Вычислим элемент площади dS:
     
Найдем частные производные и их векторное произведение:
     
Отсюда следует, что . Следовательно, масса оболочки равна
     

Пример 2 Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .


Решение.
Воспользуемся формулой
     
Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать
     
Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем
     
Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен
     

  Пример 3 Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.


Решение.
Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна
     
Рис.3
Рис.4
Вычислим момент первого порядка Myz.
     
где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4).

Поскольку
     
то
     
Отсюда находим выражение для момента первого порядка Myz:
     
Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты:
     
Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен
     
Второй интеграл имеет значение
     
Таким образом, момент первого порядка Myz равен
     
Отсюда находим координату xc центра масс:
     
В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение.

Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид
     

Пример 4 Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.


Решение.
Момент инерции Iz находится по формуле:
     
где поверхность S − это полусфера x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0).

Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен
     
Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде
     
где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX
     
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0. В результате можно окончательно вычислить момент инерции:

     

 Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал  (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.

 

Если функция бесконечно большая, то она очевидно не ограничена. Но не всякая неограниченная функция - бесконечно большая. На графике справа изображена функция  на отрезке [0.01, 0.1]. Эта функция неограничена на полуинтервале (0,1] (знаменатель ®0), но в любой окрестности точки 0 имеются точки, в которых f(x)=0, т.е. f(x) не бесконечно большая.

Для бесконечно больших функций будем применять аббревиатуру ББ.

Задание. 6. Самостоятельно перебрать все возможные варианты определений ББ (положительных ББ, отрицательных ББ) при х®а+0, х®а-0, х®+¥ и т.д. Сформулировать эти определения на языке последовательностей.

4.4.4. Свойства функций, имеющих предел.

Теор. 4.4.2 (о единственности предела). Если функция имеет предел при х®а, то этот предел единственен.

Док-во от противного. Пусть функция имеет два предела при х®а: b1 и b2, b1¹ b2, пусть b2> b1. Возьмём e<( b2- b1 )/2. $d1: 0<| x-a |<d1 Þ| f(x)- b1 |<eÛ-e< f(x)- b1<eÛb1-e< f(x)< b1+eÞ f(x)< b1+e< b1+( b2- b1 )/2=( b1+ b2 )/2. Аналогично  $d2: 0<| x-a |<d2 Þ| f(x)- b2 |<eÛ-e< f(x)- b2<eÛb2-e< f(x)< b2+eÞ f(x)> b2-e> b2-( b2- b1 )/2=( b1+ b2 )/2. Таким образом, при

0<| x-a|<min{d1,d2}должно быть одновременно f(x)< ( b1+ b2 )/2 и f(x)> ( b1+ b2 )/2, что невозможно - получено противоречие.

Теор. 4.4.3 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел b при х®а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Док-во. Возьмём e=1. $d: 0<| x-a |<d Þ| f(x)- b |<1Þ -1< f(x)- b<1Þ b-1< f(x)< b+1Þв d-окрестности точки а f(x) ограничена сверху и снизу Þона в этой окрестности ограничена.

Теор. 4.4.4 (о сохранении функцией знака предела). Если функция имеет предел b при х®а, и число b>0 (либо b<0), то существует окрестность точки а, в которой f(x)>0 (либо f(x)<0).

Док-во. Рассмотрим для определённости случай b>0. Возьмём e= b/2. $d: 0<| x-a |<d Þ| f(x)- b |< b/2Þ - b/2< f(x)- b< b/2Þ b- b/2< f(x)< b+ b/2Þ f(x)> b/2>0, что и требовалось доказать.

Очевидные следствия: 1. Если b>B, то f(x)> B в некоторой окрестности предельной точки; 2. Если f(x)>0 в некоторой окрестности предельной точки, то не может быть b<0.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов