[an error occurred while processing this directive]
Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.


Решение.
Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде
     
где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как , то можно записать
     
После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения:
     
В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде
     
где .
Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны
     
Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.
Рис.5
Рис.6

 

Пример 6 Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.


Решение.
В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой
     
где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.

Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна
     
Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

     

  Пример 7 Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.


Решение.
Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл
     
Так как векторы и сонаправлены, то поток равен
     
Переходя к полярным координатам, получаем
     
Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая
     
можно записать
     
Таким образом, поток жидкости равен
     
Рис.7
Рис.8

 

 

Пример 8 Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.


Решение.
В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.

Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем
     

Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х) - БМ при х®a, f(x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что a(х) f(x) - БМ при х®a. $С>0: | f(x) |<C; "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e/CÞ

| a(х) f(x)|<e, т.е. a(х) f(x) действительно БМ при х®a.

Теор. 4.4.8. Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х), b(х) - БМ при х®a. Требуется доказать, что a(х) ±b(х) - БМ при х®a. "e>0 $d1: 0<| x-a |<d1Þ|a(х)|<e/2; $d2: 0<| x-a |<d2Þ|b(х)|<e/2. Если взять 0<| x-a |<min{d2,d1}=d, то | a(х) ±b(х)|£ | a(х) |+ | b(х)|< e/2+e/2=e, т.е. a(х) ±b(х) действительно БМ при х®a.

Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.

Докажем теорему, которой придётся часто пользоваться и которая, в основном, объясняет причину выделения БМ функций в отдельный класс:

Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f(x) имела предел, равный b, при х®a, необходимо и достаточно, чтобы f(x) представлялась в виде f(x)= b+a(х) , где a(х) - БМ при при х®a.

Док-во. Необходимость. Пусть $. Обозначим a(х)= f(x) - b, докажем, что a(х) - БМ при при х®a. По определению предела "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ| f(x) - b |=|a(х)|<e, т.е. a(х) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов