Warning: include_once(/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php) [function.include-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: include_once() [function.include]: Failed opening '/pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/config.php' for inclusion (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 4

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=config&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 79

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=ip_list&host=4d-art.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 80

Warning: file_get_contents(AGG_CONFIG_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 90

Warning: file_get_contents(AGG_IPLIST_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 45

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/WapClick.php on line 47

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php:4) in /pub/home/andrekon21/4d-art/tfdgbsd6435hhjmkhgi9/main.php on line 9
Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:
Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями
а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам
Как видно, справедливы соотношения
Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл
Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Тензор инерции
Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:
Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения
Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл
где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле
где G − гравитационная постоянная.

Пример 1 Найти центроид однородного полушара радиусом R.


Решение.
Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела.

Очевидно, что в силу симметрии
     
Вычислим координату центра тяжести по формуле
     
Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ0. Тогда
     
В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный
     
Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:
     
Таким образом, координата центра тяжести равна
     

Пример 2 Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z
(рисунок 2).


Решение.
Сначала вычислим массу куба:
     
Теперь вычислим статические моменты Mxy, Mxz, Myz.
     
Аналогично находим моменты Mxz и Myz:
     
     
Вычисляем координаты центра тяжести куба:
     

Рассмотрим ещё два примера.

( график этой функции приведен слева; х¹0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х®0. В каждой точке последовательности  f(xn)=0, в каждой точке последовательности  f(xn)=1, разные последовательности дают разные пределыÞ не существует.

5. Функция Римана

Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой e-окрестности точки  при e< содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х=а  не существует. Если х=а иррационально, то вне любой e-полосы |x|<e лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .

4.4.1.2. Предел функции на бесконечности.

Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x)® b при x® µ; .

Краткая форма записи: .

Пример: докажем, что .  при . Если взять " K>, то при | x |>K будет , что и требуется.

 Задание. 1. Самостоятельно сформулировать определение   на языке последовательностей. 2.Сформулировать условие отсутствия .

4.4.2. Односторонние пределы функции.

Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при х®а справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a < x<а +d, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(x)® b при x® а+0; ; f(а+0).

Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f(x) при х®а слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a-d < x<а, то | f(x)-b |<e.

Обозначения: ; f(x)® b при x® а-0; ; f(а-0).

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Поверхностные интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

 

Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов