Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Теорема Стокса

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции

справедлива теорема Стокса:
где
ротор векторного поля .

Символ показывает, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой.

Будем предполагать, что ориентация поверхности и направление обхода кривой соответствуют правилу правой руки. В этом случае при обходе кривой поверхность всегда остается слева, если голова направлена в ту же сторону, что и вектор нормали (рисунок 1).

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.

В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде:
Рис.1
Рис.2

 

Пример 1 Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.


Решение.
Обозначим через S поверхность, ограниченную замкнутой кривой C. Применяя формулу Стокса, можно записать
     
Тогда
     
Следовательно, находим значение криволинейного интеграла:
     
Утверждение доказано.

Пример 2 Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где кривая C образована пересечением сферы плоскостью .


Решение.
Обозначим через S круг, вырезаемый из заданной плоскости при пересечении со сферой. Определим координаты единичного вектора нормали к поверхности S:
     
В нашем случае
     
Следовательно, ротор вектора равен
     
По теореме Стокса получаем
     
Поскольку центр сферы находится в начале координат, а плоскость также проходит через начало координат, то сечением будет являться круг радиусом 1. Тогда интеграл имеет значение

     

Пример 3 Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой пересечение цилиндра и плоскости .


Решение.
Обозначим через S часть плоскости, вырезаемую цилиндром. Пусть обход кривой C осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конечной точки вектора нормали , координаты которого равны
     
Так как , то можно записать
     
Далее, применяя формулу Стокса, находим
     
Проекция поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиуса a. Поэтому, записывая уравнение плоскости в виде и используя формулу
     
получаем
     

Пример 4 Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса. Кривая C имеет форму эллипса и определяется уравнениями (рисунок 2 выше).


Решение.
Пусть поверхность S − это часть плоскости z = 1, ограниченная эллипсом. Очевидно, единичный вектор нормали к данной поверхности будет . Поскольку
     
то ротор поля равен
     
В соответствии с теоремой Стокса получаем
     
Двойной интеграл в последней формуле равен площади эллипса. Поэтому интеграл равен
     

   Пример 5 Используя теорему Стокса, вычислить криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой треугольник с вершинами A(2,0,0), B(0,2,0), D(0,0,2) (рисунок 3).


Решение.
Пусть S будет плоскость треугольника ABD. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны ниже на рисунке 3.

Определим сначала нормальный вектор :
     
Тогда
     
и, следовательно,
     
В нашем случае , и ротор равен
     
Применяя формулу Стокса, находим
     
Здесь двойной интеграл равен площади треугольника ABD, которая составляет
     
Таким образом, интеграл имеет значение
     
Рис.3
Рис.4

   Пример 6 Найти интеграл с использованием теоремы Стокса. Кривая C образована пересечением параболоида с плоскостью . (рисунок 4).


Решение.
Пусть S будет часть плоскости, вырезанная параболоидом. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны на рисунке 4. Из уравнения плоскости найдем вектор нормали :
     
Так как
     
то ротор векторного поля равен
     
По теореме Стокса находим
     
Поскольку , то интеграл становится равным
     
Чтобы завершить расчеты, нужно определить двойной интеграл , то есть найти площадь поверхности S.
Явное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, по формуле
     
где D(x,y) − это проекция S на плоскость xy, получаем
     
Определим область интегрирования D(x,y). Решая систему уравнений
     
находим
     
Как видно, область D(x,y) − это круг радиуса с центром в точке . Тогда площадь области D(x,y) равна
     
Отсюда находим окончательное значение интеграла:
     

Число е.

 Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

 Утв. 1. Последовательность  возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

  Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ an+1>an.

 Утв. 2. Последовательность  ограничена.

Док-во. Оценим величину  сверху. Каждое слагаемое в полученной сумме оценивается величиной . Тогда вся сумма  

Итак, последовательность  возрастает и ограниченаÞона имеет предел. Этот предел и определяет число е, , зашитое во все природные явления столь же фундаментально, как и число p.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов