[an error occurred while processing this directive]
Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Тригонометрические и гиперболические подстановки

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:


Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

1. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
2. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
3. Интегралы вида
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Примечания:

Пример 1 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем подстановку
     
Получаем
     

Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
Применим гиперболическую подстановку
x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл .


Решение.
Для нахождения этого интеграла используем замену . Применив соотношение , получаем
     
Выразим
sin t через x:
     
Следовательно, интеграл равен
     

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Сделаем следующую подстановку: . Следовательно,
     
Тогда интеграл равен
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношений
     
находим ответ:
     

Пример 5 Вычислить интеграл .


Решение.
Используем тригонометрическую подстановку
x = a sec t, dx = a tg t sec tdt. Вычислим интеграл, применив соотношение .
     
Поскольку
     
то получаем интеграл, выраженный через исходную переменную x:
     

Пример 6 Найти интеграл .


Решение.
Предварительно преобразуем интеграл.
     
Сделаем подстановку
     
Теперь вычисляем интеграл:
     

Пример 7 Найти интеграл .


Решение.
Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде
     
Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда
     

Пример 8 Вычислить интеграл .


Решение.
Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем.
     
Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл
     
Интеграл вычислен . Окончательный ответ равен
     

Пример 9 Найти интеграл .


Решение.
Применим подстановку
     
Тогда
     
Выразим и через x:
     
Таким образом,
     

Пример 10 Вычислить интеграл .


Решение.
Применив тригонометрическую подстановку , получаем
     
Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид
     
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов.
     
Определим коэффициенты.
     
Тогда
     
Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде
     
Вычислим исходный интеграл.
     
Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения
     
находим окончательный ответ:

     

4.4.9. Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0 при х®а и пусть $.

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û=1Û0Û . Достаточность. ÛÛ =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть a(х)~ a1(х), b(х)~b1(х) - БМ функции. Тогда .

 Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если  при некотором k>0, то БМ a(х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с b(х).

Если a(х) - БМ к-го порядка по сравнению с b(х), то a(х)~C[b(х)]kÞa(х)=C[b(х)]k+o(a(x)), т.е. функция C[b(х)]k - главная часть функции a(х). В этом случае также a(х)=C[b(х)]k+o([b(х)]k).

 При решении задач часто применяется следующее очевидное

 Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов