Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Тройные интегралы в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.

Рис.1
Рис.2
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область
D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями
где
f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем
В другом случае, когда область
D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями
где
φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде
Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле
Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

   Пример 1 Вычислить интеграл

     

Решение.
Найдем последовательно все три интеграла:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U расположена в первом октанте ниже плоскости
3x + 2y + z = 6.

Решение.
Записывая уравнение плоскости
3x + 2y + z = 6 в отрезках:
     
изобразим область интегрирования U (рисунок 3).
Рис.3
Рис.4
Пределы интегрирования по z изменяются от
z = 0 до z = 6 − 3x − 2y. Рассматривая проекцию D в плоскости Oxy, находим, что переменная y изменяется от y = 0 до (рисунок 4). При этом переменная x "пробегает" от 0 до 2.

Итак, тройной интеграл выражается через повторный в виде
     
Вычисляем последовательно все три интеграла и находим ответ:

     

Пример 3 Вычислить тройной интеграл

     
где область U (рисунок 5) ограничена поверхностями
     
Рис.5
Рис.6

Решение.
Проекция области U на плоскость Оxy имеет вид, показанный на рисунке 6. Учитывая это, найдем соответствующие повторные интегралы:
     

Пример 4 Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7
Рис.8

Решение.
Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как
     
Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования
"z-x-y":
     
Теперь рассмотрим случай
"x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x.
Тогда
     
Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем
     
Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке
"y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид:
     
Последний шестой вариант записывается в виде:
     
Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем:
     
Сделаем замену:
     
Находим окончательный ответ:
     
Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

 Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х®0

Главная часть при х®0

1. sin x ~ x

1. sin x = x+o(x)

2. 1 - cos x ~ x2/2

2. 1 - cos x = x2/2+o(x2)Þcos x = 1- x2/2+o(x2)

3. tg x ~ x

3. tg x = x+o(x)

4. arcsin x ~ x

4. arcsin x = x+o(x)

5. arctg x ~ x

5. arctg x = x+o(x)

6. ax-1 ~ x ln a; ex-1 ~ x

6. ax–1 = x ln a+o(x)Þ ax = 1+ x ln a+o(x)

 ex –1 = x+o(x) )Þ ex = 1+ x +o(x)

7. loga (1+x) ~ x logae; ln(1+x) ~ x

7. loga (1+x) = x logae+o(x); ln(1+x) = x+o(x)

8. (1+x)a-1 ~ a x

8. (1+x)a - 1 = a x+o(x)Þ (1+x)a=1 + a x+o(x)

9. sh x ~ x

9. sh x = x+o(x)

10. ch x - 1 ~ x2/2

10. ch x - 1= x2/2+o(x2)Þ ch x = 1 + x2/2+o(x2)

4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения : , , . Напомним одно из них.

Опр.4.4.8. f(x)®¥ при х®а (х®а+0, х®а-0, х®¥, х®+¥,  х®-¥) Û Û.

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и j(x) связаны соотношением F(x)=. F(x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

 Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что   - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М=1/e $d: 0<| x-a |<dÞ| F(x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

 Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х®а.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Исследовать на сходимость ряд .

Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .

Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов