Прямая доставка чая из Китая

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Геометрические приложения интегралов Криволинейные интегралы Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Найти разложение в ряд Фурье функции

Математика Примеры решения задач контрольной работы

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1

.

Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...


Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
     

Пример 2 Найти сумму ряда .


Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

     

Пример 3 Найти сумму ряда

     

Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
     
то получаем следующий результат:

     

Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.


Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
     
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получаем
     

Пример 5 Показать, что

     
при условии x > 1.

Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде
     
что доказывает исходное соотношение.

Пример 6 Решить уравнение

     

Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда уравнение принимает вид
     
Находим корни квадратного уравнения:
     
Поскольку |x| < 1, то решением будет .

Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.


Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии
     
Так как второй член прогрессии равен , то получаем следующую систему уравнений для определения a1 и q:
     
Решая систему, получаем квадратное уравнение:
     
Это уравнение имеет два корня:
     
Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:
     
Таким образом, задача имеет два решения:
     

 С двумя функциями можно произвести ещё следующие действия: возвести f(x) в степень g(x) и взять их суперпозицию. Для степени f(x)g(x) оказывается, что если существуют конечные , , то существует , это следствие непрерывности показательной и логарифмической функций; и этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции функций оказывается, что существование пределов внешней и внутренней функций недостаточно для существования предела сложной функции. Более точно, если х=g(t) имеет предел а при t® t0, функция y=f(x) имеет предел при x ® а, то  может не существовать. Пример: пусть . Очевидно, $. Пусть . $. Для последовательности точек   ; если выбрать последовательность , не попадающую в эти точки, то . Две последовательности дают разные пределыÞ не существует. Дальше мы увидим, что существование предела сложной функции обеспечивает непрерывность внешней функции.

4.4.7. Замечательные пределы.

4.4.7.1. Первый замечательный предел. Так принято называть . Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin| x |£.| x | (достаточно доказать это при х>0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ =х, длина отрезка ВD =sin х, sin х< х (при х ¹0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр.OBА)<S(сек.OBA)<S(тр.OCA). Выразим эти площади:  (CA=tg x). Делим это выражение на : . Мы получили эти неравенства в предположении х>0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: . cos x®1 при х®0, предел правой части тоже равен 1, по теор. 3.4.5 о пределе промежуточной функции $.

Следствия: .

Раскрытие неопределенностей Вычислить предел .

Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .

Свойства пределов Найти предел .

Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .


Вычисление объемов с помощью тройных интегралов