Кинематика Механические передачи Молекулярная физика и термодинамика Ядерная физика Шарф спицами записи с меткой шарф.

Лабораторная работа по физике. Практические занятия

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Основные формулы

Гармонические колебания происходят по закону:

x = A cos(ωt + φ0),

где  x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ0 – начальная фаза, t – время.

Период колебаний  T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ =  = – A ω sin (ωt + φ0),

ускорение  a =  = – Aω2 cos (ωt + φ0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: Ek =  =  sin2(ωt + φ0).

Потенциальная энергия:

En =  cos2(ωt + φ0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T = ,

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,

– физического T = ,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: lnp = ,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(φ2 – φ1)

и начальной фазой: φ = arctg .

где А1, A2 – амплитуды, φ1, φ2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

 +  –  cos (φ2 – φ1) = sin2 (φ2 – φ1).

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A0 e- βt cos(ωt + φ0),

где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A0 e - βt.

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln  = βT,

где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

D = .

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

y = y0 cos ω(t ± ),

где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата,  вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X, знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х.

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υT,

где υ–скорость распространения волны, T–период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y = y0 cos 2π ( + ).

Стоячая волна описывается уравнением:

y = (2y0 cos ) cos ω t.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

xп = n,

точки с нулевой амплитудой – узлами,

xу = (n + ).

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(wt + j0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту w = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos(t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x1 = 0,05 cos= 0,05  = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x2 = 0,05 cos(1,5 + )= 0,05 cos p = – 0,05 м.

в) график функции x=0,05cos (t + ) выглядит следующим образом:

 

Определим положение нескольких точек. Известны х1(0) и х2(1,5), а также период колебаний. Значит, через Dt = 4 c значение х повторяется, а через Dt = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Системы с механической связью

Если связь термодинамической системы с окружающими телами силовая, то-есть чисто механическая, а не тепловая (система адиабатически изолирована, и теплообмена с окружением нет), тогда равновесию по-прежнему соответствует максимум энтропии (работа силы, как известно, не влияет на энтропию), но условие минимума внутренней энергии уже не выполняется. Легко понять, что к минимуму стремится не сама внутренняя энергия, а ее сумма с потенциальной энергией, характеризующей силовую связь с внешними телами. В общем случае потенциал внешних сил, конечно, отличен от РV, но чаще всего, когда нет электрических и магнитных влияний, такая связь осуществляется посредством внешнего давления, которое, как правило, постоянно. В этом случае общее выражение для вариации (9.1) (с учетом вариации для энтропии S = 0 ) позволяет записать условие равновесия сначала в виде U + PV > 0, а с учетом постоянства давления как U + PV) > 0. Поскольку функция состояния, именуемая энтальпией Н = U + PV, то условие термодинамического равновесия в системах с механической связью при постоянном давлении принимает вид

 ( Н ) S,Р > 0. (9.4)

 Это означает, что в отсутствие теплообмена (энтропия сохраняется) и при постоянном давлении равновесию в термодинамических системах соответствует минимум энтальпии, то есть для систем с механической связью, находящихся под постоянным давлением, энтальпия играет такую же роль, какую играет внутренняя энергия для систем с неизменным объемом при протекании в них обратимых процессов.

 Системы с тепловой связью

 Рассмотрим, что нового вносит в условия равновесия термодинамических систем хороший теплообмен с окружающими телами, когда температура термодинамической системы все время успевает сравняться с температурой окружающей среды. Наиболее важным для практики является, конечно, случай изотермических процессов, идущих в условиях, близких к равновесным.

 Если, наряду с температурой, неизменным оказывается также объем системы (V=0), то общее неравенство для вариаций (9.1) с учетом постоянства температуры дает выражение U- ТS) > 0. Поскольку функция состояния термодинамической системы, именуемая свободной энергией,  F = U- ТS , то для систем с хорошим теплообменом (Т = const.) и при постоянстве объема условие термодинамического равновесия принимает вид

 (F)Т,V > 0. (9.5)

 Аналогичным образом из общего неравенства для вариаций (9.1) можно получить условие изотермического равновесия при постоянном давлении, что выразится в требовании минимальности термодинамического потенциала Гиббса G = U + PV – TS, то есть в виде

 (G) Т,Р > 0. (9.6)

 Напомним еще раз, что в условиях равновесных (обратимых) процессов все эти функции (внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия и потенциал Гиббса) играют роль, аналогичную роли потенциальной энергии в механике. Подобно потенциальной энергии в механике все эти функции минимальны, когда система находится в состоянии теплового равновесия, и следовательно, любое выведение системы из этого состояния связано с затратой работы внешних сил.


Деление кристаллов на диэлектрики, металлы и полупроводники