МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Основные формулы
Гармонические колебания происходят по закону:
x = A cos(ωt + φ0),
где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ0 – начальная фаза, t – время.
Период колебаний
T = 
.
Скорость колеблющейся частицы:
υ
= 
= – A ω sin (ωt + φ0),
ускорение
a = 
= – Aω2 cos (ωt + φ0).
Кинетическая
энергия частицы, совершающей колебательное движение: Ek = 
= 
sin2(ωt + φ0).
Потенциальная энергия:
En
= cos2(ωt + φ0).
Периоды колебаний маятников
–
пружинного T = 
,
где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,
– математического T = 
,
где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,
– физического T = 
,
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.
Приведенная длина физического маятника находится
из условия: lnp = 
,
обозначения те же, что для физического маятника.
При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(φ2 – φ1)
и начальной фазой: φ = arctg
.
где А1, A2 – амплитуды, φ1, φ2 – начальные фазы складываемых колебаний.
Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:
+ 
– 
cos (φ2 – φ1) = sin2 (φ2 – φ1).
Затухающие колебания происходят по закону:
x = A0 e- βt cos(ωt + φ0),
где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:
A = A0 e - βt.
Логарифмическим декрементом затухания называют:
λ
= ln 
= βT,
где Т – период колебания: T = .
Добротностью колебательной системы называют:
D = 
.
Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:
y
= y0 cos ω(t ± 
),
где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.
Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X, знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х.
Длиной волны называют ее пространственный период:
λ = υT,
где υ–скорость распространения волны, T–период распространяющихся колебаний.
Уравнение волны можно записать:
y
= y0 cos 2π (
+ 
).
Стоячая волна описывается уравнением:
y
= (2y0 cos 
) cos ω t.
В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,
xп = n
,
точки с нулевой амплитудой – узлами,
xу
= (n + 
).
Примеры решения задач
Задача 20
Амплитуда
гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза 
. а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения
колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и при t = 1,5 с; в) начертить
график этого движения.
Решение
Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(wt + j0).
По
условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту
w = 
. Остальные параметры известны:
а)
x = 0,05 cos(
t + ).
б) Смещение x при t = 0.
x1 = 0,05 cos= 0,05 
= 0,0355 м.
При t = 1,5 c
x2
= 0,05 cos(1,5 + )= 0,05 cos p = – 0,05 м.
в) график функции x=0,05cos (t
+ ) выглядит следующим образом:
Определим положение нескольких точек. Известны х1(0) и х2(1,5), а также период колебаний. Значит, через Dt = 4 c значение х повторяется, а через Dt = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .
Системы с механической связью
Если связь термодинамической системы с окружающими телами силовая, то-есть чисто механическая, а не тепловая (система адиабатически изолирована, и теплообмена с окружением нет), тогда равновесию по-прежнему соответствует максимум энтропии (работа силы, как известно, не влияет на энтропию), но условие минимума внутренней энергии уже не выполняется. Легко понять, что к минимуму стремится не сама внутренняя энергия, а ее сумма с потенциальной энергией, характеризующей силовую связь с внешними телами. В общем случае потенциал внешних сил, конечно, отличен от РV, но чаще всего, когда нет электрических и магнитных влияний, такая связь осуществляется посредством внешнего давления, которое, как правило, постоянно. В этом случае общее выражение для вариации (9.1) (с учетом вариации для энтропии S = 0 ) позволяет записать условие равновесия сначала в виде U + PV > 0, а с учетом постоянства давления как U + PV) > 0. Поскольку функция состояния, именуемая энтальпией Н = U + PV, то условие термодинамического равновесия в системах с механической связью при постоянном давлении принимает вид
( Н ) S,Р > 0. (9.4)
Это означает, что в отсутствие теплообмена (энтропия сохраняется) и при постоянном давлении равновесию в термодинамических системах соответствует минимум энтальпии, то есть для систем с механической связью, находящихся под постоянным давлением, энтальпия играет такую же роль, какую играет внутренняя энергия для систем с неизменным объемом при протекании в них обратимых процессов.
Системы с тепловой связью
Рассмотрим, что нового вносит в условия равновесия термодинамических систем хороший теплообмен с окружающими телами, когда температура термодинамической системы все время успевает сравняться с температурой окружающей среды. Наиболее важным для практики является, конечно, случай изотермических процессов, идущих в условиях, близких к равновесным.
Если, наряду с температурой, неизменным оказывается также объем системы (V=0), то общее неравенство для вариаций (9.1) с учетом постоянства температуры дает выражение U- ТS) > 0. Поскольку функция состояния термодинамической системы, именуемая свободной энергией, F = U- ТS , то для систем с хорошим теплообменом (Т = const.) и при постоянстве объема условие термодинамического равновесия принимает вид
(F)Т,V > 0. (9.5)
Аналогичным образом из общего неравенства для вариаций (9.1) можно получить условие изотермического равновесия при постоянном давлении, что выразится в требовании минимальности термодинамического потенциала Гиббса G = U + PV – TS, то есть в виде
(G) Т,Р > 0. (9.6)
Напомним еще раз, что в условиях равновесных (обратимых) процессов все эти функции (внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия и потенциал Гиббса) играют роль, аналогичную роли потенциальной энергии в механике. Подобно потенциальной энергии в механике все эти функции минимальны, когда система находится в состоянии теплового равновесия, и следовательно, любое выведение системы из этого состояния связано с затратой работы внешних сил.