Прямая доставка чая из Китая

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Кинематика Механические передачи Молекулярная физика и термодинамика Ядерная физика

Лабораторная работа по физике. Практические занятия

Строение кристаллов. Элементы квантовой статистики

Кристаллическая решетка. Виды связей между частицами решетки

 Основной особенностью кристаллов, отличающих их от жидкостей и аморфных твердых тел, является периодичность пространственного расположения частиц (атомов, молекул или ионов), из которых состоит кристалл. Совокупность таких периодически расположенных частиц образует периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой. Точки, в которых расположены сами частицы, называются узлами кристаллической решетки. Существование кристаллической решетки объяснятся тем, что равновесие сил притяжения и отталкивания между частицами, соответствующее минимуму потенциальной энергии системы, достигается при условии трехмерной периодичности. Всякая кристаллическая решетка может быть составлена повторением в трех различных направлениях одного и того же структурного элемента - элементарной ячейки. Она представляет собой параллепипед, построенный на ребрах а, b, c с углами a, b, g между ребрами. В зависимости от формы элементарной ячейки все кристаллы делятся на 7 систем (сингоний): кубическая, ромбическая и др.

 В зависимости от рода частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, и от характера сил взаимодействия между частицами различают 4 физических типа кристалла: 

Ионные кристаллы, например, NaCl. В узлах кристаллической решетки находятся ионы разных знаков. Связь между ионами обусловлена силами кулоновского притяжения и называется такая связь гетерополярной.

Атомные кристаллы, например, С (алмаз), Ge, Si. В узлах решетки находятся нейтральные атомы, удерживающиеся там благодаря ковалентным связям, возникающим за счет обменных сил, имеющих чисто квантовый характер. 

Металлические кристаллы. В узлах кристаллической решётки располагаются положительные ионы металла. Валентные электроны в металлах слабо связаны со своими атомами, они свободно перемещаются по всему объёму кристалла, образуя так называемый «электронный газ». Он связывает между собой положительно заряженные ионы.

Молекулярные кристаллы, например, нафталин,- в твёрдом состоянии (сухой лёд). Они состоят из молекул, связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса, т.е. cилами взаимодействия индуцированных молекулярных электрических диполей.

Элементы квантовой статистики

 Дуализм (двойственность) волн и частиц относится к числу фундаментальных концепций современной физики. В кристаллах имеется много полей, которые проявляют оба эти аспекта - и волновой, и корпускулярный. Кванты энергий таких полей получили собственные названия. Подобно тому как фотон описывает корпускулярные свойства электромагнитного поля, термины фонон, магнон, плазмон, полярон и экситон описывают некоторые квантовые поля в кристалле. Фононы, магноны, плазмоны, поляроны и экситоны ведут себя почти как частицы и называются квазичастицы. В отличие от реальных частиц, которые существуют как в среде, так и в вакууме, квазичастицы существуют лишь только в среде. Итак, твёрдые тела состоят из огромного числа как частиц (молекул, атомов, ядер атомов, протонов, нейтронов, электронов и т. д.), так и квазичастиц. Кроме того в твёрдых телах распространяются электромагнитные поля в виде огромного числа частиц - фотонов.

 Поведение этих частиц и квазичастиц описывается с использованием статистических методов, аналогично тому, как описывалось поведение молекул идеального газа в лекциях 1,2.

 Напоминаем, что задача статистики - указать распределение частиц по энергии Е, импульса Р .... Зная функцию распределения f(Е) и f(Р)..., можно вычислить средние физические величины, характеризующие состояние системы в целом. В зависимости от условий частицы системы подчиняются законам либо классической физики (лекции 1,2), либо квантовой физики. Соответственно различаются классическая и квантовая статистики. У классических частиц параметры изменяются непрерывно. Поэтому в классической статистике f(x)dx указывает число частиц (или долю частиц), параметр х которых лежит в интервале от х до х+dx. В классической статистике тождественные, т. е. одинаковые по своим физическим свойствам, частицы различимы по нахождению в пространстве, импульсам... Квантовые статистики отличаются от классических из-за того, что в них частицы подчиняются квантовым законам: параметры частиц квантуются, т. е. принимают только дискретные значения и квантовые закономерности имеют всегда вероятный характер. В квантовой физике существует важное положение о принципиальной неразличимости тождественных частиц. 

Фермионы и бозоны. Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

  Согласно современной квантовой теории все элементарные и сложные частицы, а также квазичастицы разделяются на два класса - фермионы и бозоны.

 К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и все другие частицы, имеющие полуцелые проекции спина, т.е. LSZ=±(2n+1)/2 , где n=0, 1, 2 ... - целые числа. Напомним, что спин (spin) LS - это собственный момент импульса частиц, имеющий квантовую природу.

  К бозонам относятся фотоны, некоторые ядра атомов, квазичастицы: фононы, магноны, плазмоны, экситоны. Все они имеют проекцию спина либо равную нулю, либо равную целому числу , т.е. LSZ=±n. Фермионы и бозоны имеют различные свойства.

Фермионы

Они подчиняются принципу Паули - в одном квантовом состоянии может находится не более одного фермиона (или в одном квантовом состоянии может находиться только один фермион). Т.е. фермионы - индивидуалисты. Система фермионов описывается распределением Ферми-Дирака: среднее число фермионов <ni>, приходящееся на одно квантовое состояние с данной энергией Еi 

 <ni>=, (1)

где k - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура, m - химический потенциал.

Поясним физический смысл химического потенциала. Известно, что первое начало термодинамики для системы с переменным числом частиц N имеет вид

dQ=dU+dA-mdN,  (2)

отсюда изменение внутренней энергии dU=ТdS-PdV+mdN. Таким образом, слагаемое mdN учитывает изменение внутренней энергии системы за счет изменения числа частиц на dN. Пусть протекает адиабатический (dQ=ТdS=0) изохорический (dV=0) процесс, тогда dU=mdN и химический потенциал m= (dU /dN)S, V,

т. е. он характеризует изменение внутренней энергии системы dU при добавлении в систему одной частицы, когда система при этом не получала тепла и не совершала работу; m зависит от внешних параметров V, T и числа частиц N. Для фермионов m>0.

 На рис. 1(а) сплошной кривой представлено распределение Ферми-Дирака.

Если Т®0, то из (1) следует:

áñ =  (3)

 


Это значит, что при Т = 0 частицы Ферми - газа заполняют все квантовые состояния с энергиями  < m . Квантовые состояния с более высокими энергиями не заполнены. Кривая распределения вырождается в прямоугольник (рис. 1б). Значение энергии, ниже которой все состояния системы частиц фермионов при Т = 0 К заняты, называется энергией Ферми . Для идеального ферми газа  при Т = 0 К. Можно показать это

  , (4) 

где m и n - масса и концентрация фермионов. Следовательно, максимальная энергия, которую могут иметь электроны в металле при Т = 0 К, равна энергии Ферми . Для хорошо проводящих металлов , для полупроводников - значительно меньше

7.3.2. Бозоны

Они не подчиняются принципу Паули, т. е. в одном квантовом состоянии может быть много бозонов, т. е. бозоны - коллективисты. Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна: среднее число бозонов áñ, приходящееся на одно квантовое состояние с энергией  

  (5)

Поскольку числа заполнения áñ не могут быть отрицательными, то из (5) следует, что для бозонов m £0. Распределение Бозе-газа представлено на рис.2.

Понятие о вырождении системы частиц

Система частиц называется вырожденной, если её свойства за счёт квантовых эффектов отличаются от свойств классических систем. Найдём критерии вырождения частиц. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна можно представить в следующем виде 

, (6)

где А= - параметр вырождения. (7)

  При А<<1  и ±1 в (6) можно пренебречь. В итоге получаем

  (8)

 Это распределение Максвелла-Больцмана для классических систем [см. формулу (34) в лекции 1,2]. Из анализа (7) следует, что чем выше температура Т, тем меньше А и тем более классическим становится распределение частиц по энергиям (8).

 Температура, при которой начинают проявляться квантовые эффекты, называется температурой вырождения  . Можно показать, что

,  (9)

где m и n - масса и концентрация частиц.

 Таким образом, при Т<<T0 газ вырожден и подчиняется квантовым статистикам. При  газ не вырожден и он подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

 Расчёт по формуле (9) позволяет определить температуру вырождения:

Для водорода при нормальных условиях () , следовательно, водород при Т>>1K не вырожден и подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

Для свободных электронов (для электронного газа) в серебре . Подобные же значения получаются для всех других хорошо проводящих металлов. При таких высоких температурах ни один металл в твёрдом состоянии существовать не может. Отсюда следует, что электронный газ в металлах полностью вырожден и подчиняется только квантовой статистике Ферми-Дирака.

Для фотонов, масса которых равна нулю, из (9) следует, что . Следовательно, газ фотонов всегда вырожден и подчиняется квантовой статистике Бозе-Эйнштейна.

В механике мы привыкли к тому, что задание начальных значений координат и импульсов частиц однозначно определяет (через решение уравнений движения) их координаты и импульсы (то есть состояние механической системы) в любые другие моменты времени. Это означает, что разные начальные условия ведут к разным конечным состояниям, и, зная уравнение движения, в принципе всегда можно восстановить историю состояний механической системы.

Иное дело термодинамические системы. Каковы бы ни были первоначальные распределения частиц системы по координатам и импульсам, после установления теплового равновесия ничего нельзя сказать об этих начальных условиях. Термодинамическая система «не помнит» историю своих состояний, предшествовавших равновесному состоянию. Ничего нельзя сказать о том, каким путем, через какие промежуточные состояния система шла к равновесию. В равновесной термодинамической системе не сохраняется информация о ее прошлых состояниях. Динамическое описание состояния, используемое в механике, предполагает возможность в любой момент точно указать координаты и импульсы всех частиц системы. В термодинамических системах, состоящих из колоссального числа частиц, движущихся почти независимо друг от друга, возможность такого динамического описания оказывается утраченной. Однако в условиях термодинамического равновесия имеется возможность указать усредненные по времени (или, что то же самое, по коллективу частиц) координаты и импульсы частицы. По сравнению с механикой оказалась утраченной возможность точного знания фазовой траектории отдельной частицы в координатно-импульсном пространстве. Произошла некоторая утрата определенности описания состояния частицы. Мерой утраты этой определенности должна служить новая функция состояния системы, связанная с усредненной величиной разброса («размытостью») значений координат и импульсов частиц около их средних значений. Эта функция должна отражать новую (по сравнению с механикой) характеристику системы частиц, которую можно назвать хаотичностью состояния системы. Изменение этой функции при переходе системы из одного состояния в другое будет означать изменение степени хаотичности состояния системы. Несколько забегая вперед, укажем, что такой функцией является энтропия.

 В равновесной термодинамике нет уравнения, аналогичного уравнению движения в механике. Но здесь есть уравнение (равновесного) состояния. Как уже отмечалось, в термодинамике для описания состояния термодинамической системы считается достаточным охарактеризовать ее термодинамическими параметрами, такими как давление, температура и объем, и в ряде случаев еще некоторыми. Обычно этих трех параметров бывает достаточно, если не требуется знания концентраций различных компонентов в смесях (при химических реакциях) и не рассматриваются электрические и магнитные влияния.

 


Деление кристаллов на диэлектрики, металлы и полупроводники