Прямая доставка чая из Китая

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Декартова система координат Полярная и сферическаясистемы координат Преобразование графиков функций Обратные тригонометрические функции Решение систем уравнений и неравенств

Математика школьный курс лекций

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос

Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Зададимся целью построить график функции y  =  f 1  ( x ), где f 1  ( x ) =  f  ( x ) +  B . Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A  ( x 0 ;  y 0 ) – точка на графике функции y  =  f  ( x ). Соответствующая ей точка A ′ ( x 0 ;  y 1 ) с той же абсциссой имеет координаты A ′ ( x 0 ;  y 0  +  B ). Точка A ′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B  > 0, и на | B | вниз, если B  < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y  =  f  ( x ) +  B получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B  > 0, и на | B | вниз, если B  < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x ′ и y ′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y  =  f  ( x  –  b ). Точка A ′ ( x ′;  y ′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A  ( x ;  y ), если x ′ =  x  +  b . Таким образом, чтобы построить точку A ′, нужно сместить точку A вправо, если b  > 0, и влево, если b  < 0.

Модель 1.13. Параллельный перенос графиков.

График функции y  =  f  ( x  –  b ) получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b  > 0, и на | b | влево, если b  < 0.

Алгебраически это записывается системой:

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y  =  f  ( x  –  b ) +  B получается из графика функции y  =  f  ( x ) параллельным переносом, при котором начало координат O  (0, 0) переходит в точку O ′ ( b ,  B ). Обычно находят точку O ′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y  =  f  ( x ).

Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений

Отражение относительно осей и точек Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

Линейная функция

Прямая пропорциональность Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то

Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

Квадратный трехчлен

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением .

График функции при a  ≠ 0 называется параболой . Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение получим x  = 0. Итак, единственный нуль этой функции x  = 0. Функция является четной (для любых ось OY является ее осью симметрии.

Тригонометрическими называются функции вида y  = sin  x , y  = cos  x , y  = tg  x , y  = ctg  x и их комбинации.

Синус и косинус Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O , осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A  (0), и осью ординат, проходящей через точку За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M  ( x ) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x : M  ( x ) =  M  (cos  x ; sin  x ). Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора): sin 2   x  + cos 2   x  = 1

Тангенсом угла x называется отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла. Котангенсом угла x называется отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла:


Математика Примеры решения задач