Декартова система координат Полярная и сферическаясистемы координат Преобразование графиков функций Обратные тригонометрические функции Решение систем уравнений и неравенств

Математика школьный курс лекций

Обратные тригонометрические функции

График 2.3.4.1.

График 2.3.4.2. Арксинусом x называют такое число , что sin  t  =  x . Из определения следует, что

При помощи арксинуса решение уравнения sin  x  =  t записывается следующим образом: или t  = (–1) n  arcsin  x  + π n

Функция y  = arcsin  x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок Она обратна функции y  = sin  x , рассматриваемой на отрезке и поэтому монотонно возрастает. Функция y  = arcsin  x является нечетной.

Арккосинусом x называют такое число 0 ≤  t  ≤ π, что cos  t  =  x . Из определения следует, что

При помощи арккосинуса решение уравнения cos  x  =  t записывается следующим образом: t  = ±arccos  x  + 2π n

Функция y  = arccos  x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y  = cos  x , рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y  = arccos  x не является ни четной, ни нечетной.

Арктангенсом x называют такое число , что tg  t  =  x . При помощи арктангенса решение уравнения tg  x  =  t записывается следующим образом: t  = arctg  x  + π n Функция y  = arctg  x является нечетной.

График 2.3.4.3. График 2.3.4.4.

Арккотангенсом x называют такое число 0 ≤  t  ≤ π, что ctg  t  =  x . При помощи арккотангенса решение уравнения ctg  x  =  t записывается следующим образом: t  = arcctg  x  + π n Функция y  = arcctg  x не является ни четной, ни нечетной.

Функции y  = arctg  x и y  = arcctg  x определены и непрерывны на всей числовой оси. Их областями значений являются, соответственно, интервалы и (0; π). Арктангенс монотонно возрастает, а арккотангенс монотонно убывает на всей области определения. Функциями, обратными к данным, являются соответственно tg  x на и ctg  x на (0; π).

Модель 2.13. Простейшие тригонометрические уравнения.

Из определения обратных тригонометрических функций следуют некоторые тождества.

 

 

 

 

 

 

 

Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция Степенная функция с четным показателем необратима

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

На промежутке (0; +∞) определена функция, обратная к a x ( a  > 0, a  ≠ 1). Эта функция называется логарифмической : y  = log a   x

Функция называется гиперболическим синусом . Функция называется гиперболическим косинусом .

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Графические методы решения задач

Решение неравенств Пусть задано неравенство f  ( x ) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h  ( x ) >  g  ( x ) сводятся к рассматриваемому переносом функции g  ( x ) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству.


Математика Примеры решения задач